天津市第四十二中学 张鼎言

    (一)线线，线面，面面

    复习导引：线线垂直一般情况下转化为线面垂直，用三垂线定理或逆定理。异面直线成角或线面成角，需平行移动异面直线中的一条或两条。如何平移？抓住已给线段中点，作出线段的辅助中点，用好三角形中位线或等腰三角形底边中线是重要的途径。在线面成角中，线上的点到平面的垂线是关键，解决问题的方法是利用已有垂线或直接作平面的垂线。

    1.如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=θ(0<θ<-)。

    (I)求证：平面VAB⊥VCD；

    (II)当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围。

    证明(1)∵AC=BC，D是AB的中点，

    ∴AB⊥CD，

    又VC⊥底面ABC，

    ∴VC⊥AB

    ∴AB⊥平面VCD

    又AB平面VAB

    ∴平面VAB⊥平面VCD

    分析(2)在平面VCD中，过C作CH⊥VD，交VD于H，连CH。

    由(1)CH⊥VD，VD是平面VCD与平面VAB的交线，

    CH⊥平面VAB

    ∠CBH为直线BC与平面VAB所成角

    ∴CH=a·sin∠CBH

    CH=CD·sinθ

    又CD·AB=AC·BC→CD=-a，

    ∴-a·sinθ=a·sin∠CBH

    ∴sin∠CBH=-·sinθ

    θ为直角△VCD中的锐角，

   
    0<θ<-

    0

    ∴0<∠CBH<-

    即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为(0，-)。