求空间图形中的角

    求空间图形中的角

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    求空间图形中的角

    空间图形中的角，包括异面直线所成角、直线与平面所成角和二面角。这些角的计算，是高考中的一项主要的考核内容。做这类题目，应根据定义找出或作出所求的角。并根据题目的要求，计算一些线段的长度，然后通过解三角形等方法求值。在解题时要注意“作、证、算”的有机统一，还要注意各种角的范围，运用恰当的方法求出它们的大小。当然也可借助空间向量求这些角的大小。

　　例：在棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中，E、F分别是BC、A′D′的中点，

　　(1)求直线A′C与DE所成的角；

　　(2)求直线AD与平面B′EDF所成的角；

　　(3)求平面B′EDF与平面ABCD所成的锐二面角

　　解法一：

　　(1)解 如图所示，在平面ABCD内，过C作CP∥DE，交直线AD于P，则∠A′CP(或补角)为异面直线A′C与DE所成的角

　　在△A′CP中，易得A′C=-a，CP=DE=-a, A′P=-a

　　由余弦定理得cos(∠A′CP)=- 故A′C与DE所成角为arccos-

　　点评：异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°，求解的方法主要是平移法和补形法。

　　(2)解 ∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上(如图)又可证明四边形B′EDF为菱形(证明略)，∴DB′为∠EDF的平分线，

　　故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′，

　　在Rt△B′AD中，AD=-a，AB′=-a,B′D=-a，

　　则cosADB′=-，故AD与平面B′EDF所成的角是arccos-

　　点评：直线与平面所成角的范围是0°≤θ≤90°，求解的关键是找直线在平面上的射影。